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《对数函数》教案
作为一名无私奉献的老师，时常会需要准备好教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。来参考自己需要的教案吧！以下是小编为大家整理的《对数函数》教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
《对数函数》教案1
教学目标：
①掌握对数函数的性质。
②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值 域及单调性。
③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。
教学重点与难点：
对数函数的性质的应用。
教学过程设计：
⒈复习提问：对数函数的概念及性质。
⒉开始正课
1 比较数的大小
例 1 比较下列各组数的.大小。
⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)
⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл
师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？
生：这两个对数底相等。
师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？
生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。
师：对，请叙述一下这道题的解题过程。
生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数y=logax单调递 增，所以loga5.1 板书： 解：ⅰ）当0 ∵5.1<5.9 loga5.1="">loga5.9 ⅱ）当a>1时，函数y=logax在（0，+∞）上是增函数， ∵5.1<5.9 ∴loga5.1 师：请同学们观察一下⑵中这三个对数有何特征？ 生：这三个对数底、真数都不相等。 师：那么对于这三个对数如何比大小？ 生：找“中间量”， log0.50.6>0，lnл>0，logл0.5<0；lnл>1， log0.50.6<1，所以logл0.5< log0.50.6< lnл。 板书：略。 师：比较对数值的大小常用方法：①构造对数函数，直接利用对数函 数 的单调性比大小，②借用“中间量”间接比大小，③利用对数 函数图象的位置关系来比大小。 2 函数的定义域, 值 域及单调性。 例 2 ⑴求函数y=的定义域。 ⑵解不等式log0.2(x2+2x-3)>log0.2(3x+3) 师：如何来求⑴中函数的定义域？（提示：求函数的定义域，就是要 使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零；有偶次根式， 被开方式大于或等于零；若函数中有对数的形式，则真数大于 零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求 它们共同作用的结果。） 生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。 板书： 解：∵ 2x-1≠0 x≠0.5 log0.8x-1≥0 ， x≤0.8 x>0 x>0 ∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕 师：接下来我们一起来解这个不等式。 分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零， 再根据对数函数的单调性求解。 师：请你写一下这道题的解题过程。 生：<板书> 解： x2+2x-3>0 x<-3 x="">1 (3x+3)>0 , x>-1 x2+2x-3<(3x+3) -2 不等式的解为：1 例 3 求下列函数的值域和单调区间。 ⑴y=log0.5(x- x2) ⑵y=loga(x2+2x-3)(a>0,a≠1) 师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。 下面请同学们来解⑴。 生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。 一、内容与解析 (一）内容：对数函数的性质 （二）解析：本节课要学的内容是对数函数的性质及简单应用,其核心(或关键)是对数函数的性质,理解它关键就是要利用对数函数的图象.学生已经掌握了对数函数的图象特点,本节课的内容就是在此基础上的发展.由于它是构造复杂函数的基本元素之一，所以对数函数的性质是本单元的重要内容之一.的重点是掌握对数函数的性质,解决重点的关键是利用对数函数的图象，通过数形结合的思想进行归纳总结。 二、目标及解析 (一)教学目标: 1.掌握对数函数的性质并能简单应用 (二)解析: (1)就是指根据对数函数的两类图象总结并理解对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数值的分布特征等性质，并能将这些性质应用到简单的问题中。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是底数a对对数函数图象和性质的影响,产生这一问题的原因是学生对参量认识不到位，往往将参量等同于自变量.要解决这一问题,就是要将参量的取值多元化，最好应用几何画板的快捷性处理这类问题,其中关键是应用好几何画板. 四、教学支持条件分析 在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于(). 五、教学过程 问题1.先画出下列函数的简图，再根据图象归纳总结对数函数 的'相关性质。 设计意图: 师生活动(小问题): 1.这些对数函数的解析式有什么共同特征？ 2.通过这些函数的图象请从值域、单调性、奇偶性方面进行总结函数的性质。 3.通过这些函数图象请从函数值的分布角度总结相关性质 4.通过这些函数图象请总结：当自变量取一个值时，函数值随底数有什么样的变化规律？ 问题2.先画出下列函数的简图，根据图象归纳总结对数函数 的相关性质。 问题3.根据问题1、2填写下表 图象特征函数性质 a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1 向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在y轴右侧函数的定义域为R 函数图象都过定点（1,0） 自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横坐标大于1在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横标大于0小于1 在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于0小于1在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于1 [设计意图]发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成 例1.比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7 （3）log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , 且a≠1 ) 变式训练：1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10. 6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4 2．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小： (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0 log a n (a>1) 例2.（1）若 且 ，求 的取值范围 （2）已知 ，求 的取值范围； 六、目标检测 1.比较 ， ， 的大小： 2.求下列各式中的x的值 （1） 演绎推理导学案 2.1.2 演绎推理 学习目标 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性； 2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理. 学习过程 一、前准备 复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 . 二、新导学 ※ 学习探究 探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？ （1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ； （2）一切奇数都不能被2整除，20xx是奇数，所以 ； （3）三角函数都是周期函数， 是三角函数，所以 ； （4）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么 . 新知：演绎推理是 的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理. 探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？ 所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 新知：“三段论”是演绎推理的一般模式： 大前提—— ； 小前提—— ； 结论—— . 新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论： 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（4）写成“三段论”的形式. ※ 典型例题 例1 命题：等腰三角形的两底角相等 已知： 求证： 证明： 把上面推理写成三段论形式： 变式：已知空间四边形ABCD中，点E,F分别是AB,AD的中点， 求证：EF 平面BCD 例2求证：当a>1时，有 动手试试：1证明函数 的值恒为正数。 2 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？ 所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提） 菱形是正多边形. （结 论） 小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 合情推理 ；结论不一定正确. 2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确. 3应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则 是增函数.这个结论是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直线 平面 ，直线 ∥平面 ，则直线 ∥直线 ”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4.归纳推理是由 到 的推理； 类比推理是由 到 的推理； 演绎推理是由 到 的推理. 后作业 1. 运用完全归纳推理证明：函数 的值恒为正数。 直观图 总 课 题空间几何体总课时第4课时 分 课 题直观图画法分课时第4课时 目标掌握斜二侧画法的画图规则．会用斜二侧画法画出立体图形的直观图． 重点难点用斜二侧画法画图． 引入新课 1．平行投影、中心投影、斜投影、正投影的有关概念． 2．空间图形的直观图的画法——斜二侧画法： 规则：（1）____________________________________________________________． （2）____________________________________________________________． （3）____________________________________________________________． （4）____________________________________________________________． 例题剖析 例1 画水平放置的正三角形的直观图． 例2 画棱长为 的正方体的直观图． 巩固练习 1．在下列图形中，采用中心投影（透视）画法的是__________． 2．用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图． 3．根据下面的三视图，画出相应的空间图形的直观图． 课堂小结 通过例题弄清空间图形的直观图的斜二侧画法方法及步骤. 对数函数及其性质教学设计 1.教学方法 建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2.学法指导 新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3.教学手段 本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程 四、教学过程 教学过程 设计意图 一、创设情境，导入新课 活动1：（1）同学们有没有看过《冰河世纪》这个电影?先播放视频，引入课题。 （2）考古学家经过长期实践，发现冻土层内某微量元素的含量P与年份t的关系：，这是一个指数式，由指数与对数的关系，此指数式可改写为对数式。 （3）考古学家提取了冻土层内微量元素，确定它的残余量约占原始含量的1％，即P=0.01，代入对数式，可知 （4）由表格中的数据： 碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t 5730 9953 19035 39069 57104 可读出精确年份为39069，当P值为0.001时，t大约为57104年，所以每一个P值都与一个t值相对应，是一一对应关系，所以p与t之间是函数关系。 （5）数学知识不但可以解决猛犸象的封存时间，也可以与其他学科的`知识相结合来解决视频中的遗留问题，就是不知道咱们中国的猛犸象克隆问题会由班里的哪位同学解决，我们拭目以待。 （6）把函数模型一般化，可给出对数函数的概念。 通过这个实例激发学生学习的兴趣，使学生认识到数学来源于实践，并为实践服务。 和学生一起分析处理问题，体会函数关系，并体现学生的主体地位。 二、形成概念、获得新知 定义：一般地，我们把函数 叫做对数函数。其中x是自变量，定义域为 例1求下列函数的定义域： （1）；（2）. 解：（1）函数的定义域是。 （2）函数的定义域是。 归纳：形如的的函数的定义域要考虑— 三、探究归纳、总结性质 活动1：小组合作，每个组内分别利用描点法画和的图象，组长合理分工，看哪个小组完成的最好。 选取完成最好、最快的小组，由组长在班内展示。 活动2：小组讨论，对任意的a值，对数函数图象怎么画？ 教师带领学生一起举手，共同画图。 活动3：对a＞1时，观察图象，你能发现图象有哪些图形特征吗？ 然后由学生讨论完成下表左边： 函数的图象特征 函数的性质 图象都位于y轴的右方 定义域是 图象向上向下无限延展 值域是R 图象都经过点（1，0） 当x=1时，总有y=0 当a>1时，图象逐渐上升； 当0当a>1时，是增函数 当0通过对定义的进一步理解，培养学生思维的严密性和批判性。 通过作出具体函数图象，让学生体会由特殊到一般的研究方法。 学生可类比指数函数的研究过程，独立研究对数函数性质，从而培养学生探究归纳、分析问题、解决问题的能力。 师生一起完成表格右边，对0＜a＜1时，找两位同学一问一答共同完成，再次体现数形结合。 四、探究延伸 （1）探讨对数函数中的符号规律. （2）探究底数分别为与的对数函数图像的关系. （3）在第一象限中，探究底数分别为的对数函数图象与底数a的关系. 五、分析例题、巩固新知 例2比较下列各组数中两个值的大小： （1），； （2），； （3），。 解： （1）在上是增函数， 且3.4<8.5, （2）在上是减函数， 且3.4<8.5,. （3）注：底数非常数，要分类讨论的范围. 当a>1时，在上是增函数， 且3.4<8.5，； 当0且3.4<8.5， 练习1：比较下列两个数的大小： 练习2：比较下列两个数的大小： （找学生上黑板讲解练习2的第一题，强调多种做法，一起完成第二小题.） 考察学生对对数函数图像的理解与掌握，进一步强调数形结合。 通过运用对数函数的单调性“比较两数的大小”培养学生运用函数的观点解决问题，逐步向学生渗透函数的思想，分类讨论的思想，提高学生的发散思维能力。 六、对比总结、深化认识 先总结本节课所学内容，由学生总结，教师补充，强调哪些是重要内容 （1）对数函数的定义； （2）对数函数的图象与性质； （3）对数函数的三个结论； （4）对数函数的图象与性质的应用. 七、课后作业、巩固提高 （1）理解对数函数的图象与性质； （2）课本74页，习题2.2中7，8； （3）上网搜集一些运用对数函数解决的实际问题，根据今天学习的知识予以解答. 八、评价分析 坚持过程性评价和阶段性评价相结合的原则。坚持激励与批评相结合的原则. 教学过程中，评价学生的情绪、状态、积极性、自信心、合作交流的意识与独立思考的能力； 在学习互动中，评价学生思维发展的水平； 在解决问题练习和作业中，评价学生基础知识基本技能的掌握. 适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。 课后作业的设计意图： 一、巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标；二、让不同基础的学生学到不同的技能，体现因材施教的原则； 三、使同学们体会到科学的探索永无止境，为数学的学习营造一种良好的科学氛围。 本文题目：高一数学教案：对数函数及其性质 2.2.2 对数函数及其性质(二) 内容与解析 (一) 内容：对数函数及其性质(二)。 (二) 解析：从近几年高考试题看，主要考查对数函数的性质，一般综合在对数函数中考查.题型主要是选择题和填空题，命题灵活.学习本部分时，要重点掌握对数的运算性质和技巧，并熟练应用. 一、 目标及其解析： (一) 教学目标 (1) 了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数的图象和性质; (2) 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.. (二) 解析 (1)在对数函数 中，底数 且 ，自变量 ，函数值 .作为对数函数的三个要点，要做到道理明白、记忆牢固、运用准确. (2)反函数求法：①确定原函数的值域即新函数的定义域.②把原函数y=f(x)视为方程，用y表示出x.③把x、y互换，同时标明反函数的定义域. 二、 问题诊断分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易理解反函数，熟练掌握其转化关系是学好对数函数与反函数的基础。 三、 教学支持条件分析 在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 20xx。因为使用PowerPoint 20xx，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。 四、 教学过程 问题一. 对数函数模型思想及应用: ① 出示例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (Ⅰ)分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系? (Ⅱ)纯净水 摩尔/升，计算纯净水的酸碱度. ②讨论：抽象出的函数模型? 如何应用函数模型解决问题? 强调数学应用思想 问题二.反函数: ① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的'函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function) ② 探究：如何由 求出x? ③ 分析：函数 由 解出，是把指数函数 中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为 . 那么我们就说指数函数 与对数函数 互为反函数 ④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 图象，发现什么性质? ⑤ 分析：取 图象上的几个点，说出它们关于直线 的对称点的坐标，并判断它们是否在 的图象上，为什么? ⑥ 探究：如果 在函数 的图象上，那么P0关于直线 的对称点在函数 的图象上吗，为什么? 由上述过程可以得到什么结论?(互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称) ⑦练习：求下列函数的反函数： ; (师生共练 小结步骤：解x ;习惯表示;定义域) (二)小结：函数模型应用思想;反函数概念;阅读P84材料 五、 目标检测 1.(20xx全国卷Ⅱ文)函数y= (x 0)的反函数是 A. (x 0) B. (x 0) C. (x 0) D. (x 0) 1.B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x 0可知A、C错,原函数y 0可知D错，选B. 2. (20xx广东卷理)若函数 是函数 的反函数，其图像经过点 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. B 解析: ，代入 ，解得 ，所以 ，选B. 3. 求函数 的反函数 3.解析:显然y0，反解 可得， ，将x，y互换可得 .可得原函数的反函数为 . 【总结】20xx年已经到来，新的一年数学网会为您整理更多更好的文章，希望本文高一数学教案：对数函数及其性质能给您带来帮助！ 学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法. 旧知提示 复习：若 ，则 ，其中 称为 ，其范围为 ， 称为 . 合作探究(预习教材P70- P72，找出疑惑之处) 探究1：元旦晚会前，同学们剪彩带备用。现有一根彩带，将其对折后，沿折痕剪开，可将所得的两段放在一起，对折再剪段。设所得的彩带的根数为 ，剪的次数为 ，试用 表示 . 新知：对数函数的概念 试一试：以下函数是对数函数的是( ) A. B. C. D. E. 反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制 ，且 . 探究2：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质. 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 作图：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象. 新知：对数函数的图象和性质： 象 定义域 值域 过定点 单调性 思考：当 时， 时， ; 时， ; 当 时， 时， ; 时， . 典型例题 例1求下列函数的定义域：(1) ; (2) . 例2比较大小： (1) ; (2) ; (3) ;(4) 与 . 课堂小结 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. 知识拓展 对数函数凹凸性：函数 ， 是任意两个正实数. 当 时， ;当 时， . 学习评价 1. 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 2. 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 3. 函数 的定义域是 . 4. 比较大小： (1)log 67 log 7 6 ; (2) ; (3) . 课后作业 1. 不等式的 解集是( ). A. B. C. D. 2. 若 ，则( ) A. B. C. D. 3. 当a1时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是( ). 4. 已知函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则有( ) A. B. C. D. 5. 函数 的定义域为 . 6. 若 且 ，函数 的图象恒过定点 ，则 的坐标是 . 7.已知 ，则 = . 8. 求下列函数的定义域： 2.2.2 对数函数及其性质(2) 学习目标 1. 解对数函数在生产实际中的简单应用;2. 进一步理解对数函数的图象和性质; 3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的.图象性质. 旧知提示 复习1：对数函数 图象和性质. a1 0 图性质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点： (4)单调性： 复习2：比较两个对数的大小：(1) ; (2) . 复习3：(1) 的定义域为 ; (2) 的定义域为 . 复习4：右图是函数 ， ， ， 的图象，则底数之间的关系为 . 合作探究 (预习教材P72- P73，找出疑惑之处) 探究：如何由 求出x? 新知：反函数 试一试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 及其反函数 图象，发现什么性质? 反思： (1)如果 在函数 的图象上，那么P0关于直线 的对称点在函数 的图象上吗?为什么? (2)由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称. 典型例题 例1求下列函数的反函数： (1) ; (2) . 提高：①设函数 过定点 ，则 过定点 . ②函数 的反函数过定点 . ③己知函数 的图象过点(1，3)其反函数的图象过点(2，0)，则 的表达式为 . 小结：求反函数的步骤(解x 习惯表示定义域) 例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系? (2)纯净水 摩尔/升，计算其酸碱度. 例3 求下列函数的值域：(1) ;(2) . 课堂小结 ① 函数模型应用思想;② 反函数概念. 知识拓展 函数的概念重在对于某个范围(定义域)内的任意一个自变量x的值，y都有唯一的值和它对应. 对于一个单调函数，反之对应任意y值，x也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数. 反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互为反函数的两个函数，定义域与值域是交叉相等. 学习评价 1. 函数 的反函数是( ). A. B. C. D. 2. 函数 的反函数的单调性是( ). A. 在R上单调递增 B. 在R上单调递减 C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递减 3. 函数 的反函数是( ). A. B. C. D. 4. 函数 的值域为( ). A. B. C. D. 5. 指数函数 的反函数的图象过点 ，则a的值为 . 6. 点 在函数 的反函数图象上，则实数a的值为 . 课后作业 1. 函数 的反函数为( ) A. B. C. D. 2. 设 ， ， ， ，则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 3. 的反函数为 . 4. 函数 的值域为 . 5. 已知函数 的反函数图象经过点 ，则 . 6. 设 ，则满足 的 值为 . 7. 求下列函数的反函数. (1) y= ; (2)y= (a1,x (3) . 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、 复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、 展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表 函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集R 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集R 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1） y=ax （a＞0且a≠1） 图像 Y y=(1/2)x y=2x (0,1) X Y y=log2x (1,0) X y=log1/2x 三、 同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成， 观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的值域与y＝ax的定义域相同。 Y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） X y＝log1/2x 注意：不能由图像得到y＝2x与y＝（1/2）x为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于Y轴对称。此图虽有y＝2x与y＝（1/2）x图像对称，但它们是2个不同的函数。 四、 利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的'定义域、值域问题及比较函数的大小值。 五、 例题 例⒈比较（Л）（－0.1）与（Л）（－0.5）的大小。 解：∵ y＝ax中， a＝Л＞1 ∴ 此函数为增函数 又∵ ﹣0.1＞﹣0.5 ∴ （Л）（－0.1）＞（Л）（－0.5） 例⒉比较log67与log76的大小。 解： ∵ log67＞log66＝1 log76＜log77＝1 ∴ log67＞log76 注意：当2个对数值不能直接进行比较时，可在这2个对数中间插入一个已知数，间接比较这2个数的大小。 例⒊ 求y＝3√4-x2的定义域和值域。 解：∵√4-x2 有意义，须使4-x2≥0 即x2≤4， |x|≤2 ∴-2≤x≤2，即定义域为[-2，2] 又∵0≤x2≤4， ∴0≤4-x2≤4 ∴0≤√4-x2 ≤2，且y＝3x是增函数 ∴30≤y≤32，即值域为[1，9] 例⒋ 求函数y＝√log0.25（log0.25x）的定义域。 解：要函数有意义，须使log0.25（log0.25x）≥0 又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是减函数 ∴ 0＜log0.25x≤1 ∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25 ∴ 0.25≤x＜1，即定义域为[0.25，1） 六、 课堂练习 求下列函数的定义域 1. y＝8[1/（2x-1）] 2. y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1） 七、 评讲练习 八、 布置作业 第113页，第10、11题。并预习指数函数与对数函数 在物理、社会科学中的实际应用。 教学目标 1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性． 2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力． 3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育． 教学重点与难点 教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定． 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ （用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组： 第二组： 生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小． 师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容． （点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．） 二、对概念的分析 （板书课题：） 师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍． （学生朗读．） 师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？ 生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！ （通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．） 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力． （指图说明．） 师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间． （教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．） 师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．） 生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．） 师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？ （学生思索．） 学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力． （教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．） 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语． 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能．因为此时函数值是一个数． 师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？ 生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数． （在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．） 师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间． 师：还有没有其他的关键词语？ 生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？ （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．） 师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？ 生：可以． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）． 师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？ （让学生思考片刻．） 生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数． 师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性． （教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．） 师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的`大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系． （用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．） 三、概念的应用 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ （用投影幻灯给出图象．） 生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间． 生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然． 例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径． （指出用定义证明的必要性．） 师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程． （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．） 师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系． 生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时， f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0， 所以f（x）是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小． （对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．） 调函数吗？并用定义证明你的结论． 师：你的结论是什么呢？ 上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数． 生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数． 域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间． 上是减函数． （教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示： （1）分式问题化简方法一般是通分． （2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1． 要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变． 对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．） 四、课堂小结 师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．） 生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤． 五、作业 1．课本P53练习第1，2，3，4题． 数． =a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2） =（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*） +b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）． 课堂教学设计说明 是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理． 另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用． 还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫． 一、课前准备： 【自主梳理】 1.对数： (1) 一般地，如果 ，那么实数 叫做________________，记为________，其中 叫做对数的_______， 叫做________. (2)以10为底的对数记为________，以 为底的对数记为_______. (3) ， . 2.对数的运算性质： (1)如果 ，那么 ， . (2)对数的换底公式： . 3.对数函数： 一般地，我们把函数____________叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是______. 4.对数函数的图像与性质： a1 0 图象性 质 定义域：___________ 值域：_____________ 过点(1，0)，即当x=1时，y=0 x(0，1)时_________ x(1，+)时________ x(0，1)时_________ x(1，+)时________ 在___________上是增函数 在__________上是减函数 【自我检测】 1. 的定义域为_________. 2.化简： . 3.不等式 的解集为________________. 4.利用对数的换底公式计算： . 5.函数 的奇偶性是____________. 6.对于任意的 ，若函数 ，则 与 的大小关系是___________________________. 二、课堂活动： 【例1】填空题： (1) . (2)比较 与 的大小为___________. (3)如果函数 ，那么 的最大值是_____________. (4)函数 的奇偶性是___________. 【例2】求函数 的定义域和值域. 【例3】已知函数 满足 . (1)求 的解析式; (2)判断 的奇偶性; (3)解不等式 . 课堂小结 三、课后作业 1. .略 2.函数 的定义域为_______________. 3.函数 的值域是_____________. 4.若 ，则 的.取值范围是_____________. 5.设 则 的大小关系是_____________. 6.设函数 ，若 ，则 的取值范围为_________________. 7.当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为______________. 8.函数 在区间 上的值域为 ，则 的最小值为____________. 9.已知 . (1)求 的定义域; (2)判断 的奇偶性并予以证明; (3)求使 的 的取值范围. 10.对于函数 ，回答下列问题： (1)若 的定义域为 ，求实数 的取值范围; (2)若 的值域为 ，求实数 的取值范围; (3)若函数 在 内有意义，求实数 的取值范围. 四、纠错分析 错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析 高二数学教案：对数与对数函数 一、课前准备： 【自主梳理】 1.对数 (1)以 为底的 的对数， ，底数，真数. (2) ， . (3)0，1. 2.对数的运算性质 (1) ， , . (2) . 3.对数函数 ， . 4.对数函数的图像与性质 a1 0 图象性质 定义域：(0，+) 值域：R 过点(1，0)，即当x=1时，y=0 x(0，1)时y0 x(1，+)时y0 x(0，1)时y0 x(1，+)时y0 在(0，+)上是增函数 在(0，+)上是减函数 【自我检测】 1. 2. 3. 4. 5.奇函数 6. . 二、课堂活动： 【例1】填空题： (1)3. (2) . (3)0. (4)奇函数. 【例2】解：由 得 .所以函数 的定义域是(0，1). 因为 ，所以，当 时， ，函数 的值域为 ;当 时， ，函数 的值域为 . 【例3】解：(1) ，所以 . (2)定义域(-3，3)关于原点对称，所以 ，所以 为奇函数. (3) ，所以当 时， 解得 当 时， 解得 . 教学目标： 1.进一步理解对数函数的性质，能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问题. 2.培养学生数形结合的思想，以及分析推理的能力. 教学重点： 对数函数性质的应用. 教学难点： 对数函数的性质向对数型函数的演变延伸. 教学过程： 一、问题情境 1.复习对数函数的性质. 2.回答下列问题. (1)函数y=log2x的值域是; (2)函数y=log2x(x≥1)的值域是; (3)函数y=log2x(0 3.情境问题. 函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域分别如何求呢? 二、学生活动 探究完成情境问题. 三、数学运用 例1求函数y=log2(x2+2x+2)的定义域和值域. 练习： (1)已知函数y=log2x的值域是[-2，3]，则x的范围是________________. (2)函数，x(0，8]的值域是. (3)函数y=log (x2-6x+17)的.值域. (4)函数的值域是_______________. 例2判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)=lg (2)f (x)=ln( -x) 例3已知loga 0.75>1，试求实数a取值范围. 例4已知函数y=loga(1-ax)(a>0，a≠1). (1)求函数的定义域与值域; (2)求函数的单调区间. 练习： 1.下列函数(1) y=x-1;(2) y=log2(x-1);(3) y= ;(4)y=lnx，其中值域为R的有(请写出所有正确结论的序号). 2.函数y=lg( -1)的图象关于对称. 3.已知函数(a>0，a≠1)的图象关于原点对称，那么实数m= . 4.求函数，其中x [，9]的值域. 四、要点归纳与方法小结 (1)借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域; (2)换元法; (3)能画出较复杂函数的图象，根据图象研究函数的性质(数形结合). 五、作业 课本P70～71-4，5，10，11. 一、说教材 1、教材的地位和作用 函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数在生产、生活实践中都有许多应用．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识． 2、教学目标的确定及依据 根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标： (1) 知识目标：理解对数函数的意义；掌握对数函数的图像与性质；初步学会用 对数函数的性质解决简单的问题． (2) 能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、 分析、归纳等逻辑思维能力． (3) 情感目标：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数 学的.精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性． 3、教学重点与难点 重点：对数函数的意义、图像与性质． 难点：对数函数性质中对于在a1与01两种情况函数值的不同变化． 二、说教法 学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法．根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面： 1、教学方法： (1)启发引导学生实验、观察、联想、思考、分析、归纳； (2)采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法； (3)渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法． 2、教学手段： 计算机多媒体辅助教学． 三、说学法 “授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身．本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： (1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质． (2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索， 归纳得出对数函数的图像与性质． (3)主动合作式学习：学生在归纳得出对数函数的图像与性质时，通过小组讨论， 使问题得以圆满解决． 四、说教程 1、温故知新 我通过复习细胞分裂问题，由指数函数 引导学生逐步得到对数函数的意义及对数函数与指数函数的关系：互为反函数． 设计意图：既复习了指数函数和反函数的有关知识，又与本节内容有密切关系， 有利于引出新课．为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生 分析问题的能力． 2、探求新知 【学习目标】 一、过程目标 1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。 2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。 3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。 二、识技能目标 1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。 2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。 三、情感目标 1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的.有机联系，激发学生的学习兴趣。 2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。 教学重点难点： 1对数函数的定义、图象和性质。 2对数函数性质的初步应用。 教学工具：多媒体 【学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。 案例背景： 对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础. 案例叙述： (一).创设情境 (师)：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数. 反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数. (提问)：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗? (学生)： 是指数函数，它是存在反函数的. (师)：求反函数的步骤 (由一个学生口答求反函数的过程)： 由 得 .又 的值域为 ， 所求反函数为 . (师)：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数. (二)新课 1.(板书) 定义：函数 的反函数 叫做对数函数. (师)：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么? (教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流) (学生)对数函数的.定义域为 ，对数函数的值域为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 . (在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.) 2.研究对数函数的图像与性质 (提问)用什么方法来画函数图像? (学生1)利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图. (学生2)用列表描点法也是可以的。 请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图. (师)由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图. 具体操作时，要求学生做到： (1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等). (2) 画出直线 . (3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分. 学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出 和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图： 教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图： 然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明) 3. 性质 (1) 定义域： (2) 值域： 由以上两条可说明图像位于 轴的右侧. (3)图像恒过(1,0) (4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称. (5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图像是上升的 当 时，在 上是减函数，即图像是下降的. 之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况： 当 时，有 ;当 时，有 . 学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来. 最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性) 对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用. (三).简单应用 1. 研究相关函数的性质 例1. 求下列函数的定义域： (1) (2) (3) 先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制. 2. 利用单调性比较大小 例2. 比较下列各组数的大小 (1) 与 ; (2) 与 ; (3) 与 ; (4) 与 . 让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程. 三.拓展练习 练习：若 ，求 的取值范围. 四.小结及作业 案例反思： 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在教学上采取教师逐步引导，学生自主合作的方式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质. 在教学中一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地以反函数这条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 3. ， (0，+) 【拓展引导】 当 时, 的取值范围是 当 时, 的.取值范围是 【总结】20xx年数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：对数函数，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在数学网学习愉快! 教学目标： (一)教学知识点：1.对数函数的概念；2.对数函数的图象和性质. (二)能力训练要求：1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质. (三)德育渗透目标：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的互相转化. 教学重点： 对数函数的图象和性质 教学难点： 对数函数与指数函数的关系 教学方法： 联想、类比、发现、探索 教学辅助： 多媒体 教学过程： 一、引入对数函数的概念 由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念” 由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有： 问题：1.指数函数是否存在反函数？ 2.求指数函数的反函数． ①； ②； ③指出反函数的定义域． 3.结论 所以函数与指数函数互为反函数． 这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数． 二、讲授新课 1.对数函数的定义： 定义域：(0,+∞);值域:(-∞,+∞) 2.对数函数的图象和性质： 因为对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称． 因此，我们只要画出和图象关于直线对称的.曲线，就可以得到的图象． 研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形． 那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象． 还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象． 请同学们作出与的草图，并观察它们具有一些什么特征？ 对数函数的图象与性质： 图象 性质（1）定义域： （2）值域： （3）过定点，即当时， （4）上的增函数 （4）上的减函数 3.图象的加深理解： 下面我们来研究这样几个函数：，，，． 我们发现： 与图象关于X轴对称；与图象关于X轴对称． 一般地，与图象关于X轴对称． 再通过图象的变化（变化的值），我们发现： （1）时，函数为增函数， （2）时，函数为减函数， 4.练习： (1)如图：曲线分别为函数，，，，的图像，试问的大小关系如何？ (2)比较下列各组数中两个值的大小： (3)解关于x的不等式： 思考：(1)比较大小： (2)解关于x的不等式： 三、小结 这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数．并且研究了对数函数的图象和性质． 四、课后作业 课本P85，习题2．8，1、3 教学目标 1. 在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题． 2. 通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想． 3. 通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性． 教学重点，难点 重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质． 难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质． 教学方法 启发研讨式 教学用具 投影仪 教学过程 一. 引入新课 今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数． 反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数． 提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗? 由学生说出 是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程： 由 得 ．又 的值域为 ， 所求反函数为 ． 那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数． 二．对数函数的图像与性质 (板书) 1. 作图方法 提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图． 由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图． 具体操作时，要求学生做到： (1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的.位置，图像的变化趋势等)． (2) 画出直线 ． (3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分． 学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出和 的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图： 2. 草图． 教师画完图后再利用投影仪将 和 的图像画在同一坐标系内，如图： 然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明) 3. 性质 (1) 定义域： (2) 值域： 由以上两条可说明图像位于 轴的右侧． (3) 截距：令 得 ，即在 轴上的截距为1，与 轴无交点即以 轴为渐近线． (4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称． (5) 单调性：与 有关．当 时，在 上是增函数．即图像是上升的 当 时，在 上是减函数，即图像是下降的． 之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况： 当 时，有 ；当 时，有 ． 学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来． 最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性) 对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用． 三．巩固练习 练习：若 ，求 的取值范围． 四．小结 五．作业 略 【《对数函数》教案】相关文章： 对数函数教案（精选5篇）01-10 《对数函数》说课稿12-22 对数函数教学反思02-17 对数函数说课稿11-09 对数与对数函数教学反思04-21 对数函数及其性质说课稿07-04 《对数函数及其性质》说课稿07-29 《对数函数图像与性质》说课稿12-29 对数函数及其性质说课稿11-02《对数函数》教案2
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