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初中数学函数知识点总结

时间:2022-11-24 12:22:44 初中数学 我要投稿

初中数学函数知识点总结

  总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析,从而做出带有规律性的结论,它能够给人努力工作的动力,因此十分有必须要写一份总结哦。总结怎么写才不会千篇一律呢?下面是小编为大家整理的初中数学函数知识点总结,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

初中数学函数知识点总结

初中数学函数知识点总结1

  ∴当x1时函数取得最大值,且ymax(1)2(1)13例4、已知函数f(x)x22(a1)x2

  4],求实数a的取值(1)若函数f(x)的递减区间是(,4]上是减函数,求实数a的取值范围(2)若函数f(x)在区间(,分析:二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的,要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系

  解:(1)f(x)的对称轴是x可得函数图像开口向上

  2(a1)21a,且二次项系数为1>0

  1a]∴f(x)的单调减区间为(,∴依题设条件可得1a4,解得a3

  4]上是减函数(2)∵f(x)在区间(,4]是递减区间(,1a]的子区间∴(,∴1a4,解得a3

  例5、函数f(x)x2bx2,满足:f(3x)f(3x)

  (1)求方程f(x)0的两根x1,x2的和(2)比较f(1)、f(1)、f(4)的大小解:由f(3x)f(3x)知函数图像的对称轴为x(3x)(3x)23

  b3可得b62f(x)x26x2(x3)211

  而f(x)的图像与x轴交点(x1,0)、(x2,0)关于对称轴x3对称

  x1x223,可得x1x26

  第三章第32页由二次项系数为1>0,可知抛物线开口向上又134,132,431

  ∴依二次函数的对称性及单调性可f(4)f(1)f(1)(III)课后作业练习六

  (Ⅳ)教学后记:

  第三章第33页

  扩展阅读:初中数学函数知识点归纳

  学大教育

  初中数学函数板块的.知识点总结与归类学习方法

  初中数学知识大纲中,函数知识占了很大的知识体系比例,学好了函数,掌握了函数的基本性质及其应用,真正精通了函数的每一个模块知识,会做每一类函数题型,就读于中考中数学成功了一大半,数学成绩自然上高峰,同时,函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分,可以分为:一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数,下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

  一、一次函数

  1.定义:在定义中应注意的问题y=kx+b中,k、b为常数,且k≠0,x的指数一定为1。2.图象及其性质(1)形状、直线

初中数学函数知识点总结2

  诱导公式的本质

  所谓三角函数诱导公式,就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。

  常用的诱导公式

  公式一: 设为任意角,终边相同的`角的同一三角函数的值相等:

  sin(2k)=sin kz

  cos(2k)=cos kz

  tan(2k)=tan kz

  cot(2k)=cot kz

  公式二: 设为任意角,的三角函数值与的三角函数值之间的关系:

  sin()=-sin

  cos()=-cos

  tan()=tan

  cot()=cot

  公式三: 任意角与 -的三角函数值之间的关系:

  sin(-)=-sin

  cos(-)=cos

  tan(-)=-tan

  cot(-)=-cot

  公式四: 利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系:

  sin()=sin

  cos()=-cos

  tan()=-tan

  cot()=-cot

初中数学函数知识点总结3

  1.常量和变量

  在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量.在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数.

  2.函数

  设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.

  3.自变量的取值范围

  (1)整式:自变量取一切实数.(2)分式:分母不为零.

  (3)偶次方根:被开方数为非负数.

  (4)零指数与负整数指数幂:底数不为零.

  4.函数值

  对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当x=a时,函数有唯一确定的对应值,这个对应值,叫做x=a时的函数值.

  5.函数的表示法

  (1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.

  6.函数的图象

  把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象.由函数解析式画函数图象的步骤:

  (1)写出函数解析式及自变量的取值范围;

  (2)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

  (3)描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

  (4)连线:用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来.

  7.一次函数

  (1)一次函数

  如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.

  特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b成为y=kx(k是常数,k≠0),这时,y叫做x的正比例函数.

  (2)一次函数的图象

  一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0,b)点和点的直线.特别地,正比例函数图象是一条经过原点的直线.需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象”,因为还有直线y=m(此时k=0)和直线x=n(此时k不存在),它们不是一次函数图象.

  (3)一次函数的性质

  当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为.

  (4)用函数观点看方程(组)与不等式

  ①任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),当y=0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴交点的横坐标.

  ②二元一次方程组对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.

  ③任何一元一次不等式都可以转化ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围.

  8.反比例函数(1)反比例函数

  (1)如果(k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数.

  (2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线.

  (3)反比例函数的性质

  ①当k>0时,图象的'两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小.

  ②当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大.

  ③反比例函数图象关于直线y=±x对称,关于原点对称.

  (4)k的两种求法

  ①若点(x0,y0)在双曲线上,则k=x0y0.②k的几何意义:

  若双曲线上任一点A(x,y),AB⊥x轴于B,则S△AOB

  (5)正比例函数和反比例函数的交点问题

  若正比例函数y=k1x(k1≠0),反比例函数,则当k1k2<0时,两函数图象无交点;

  当k1k2>0时,两函数图象有两个交点,坐标分别为由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称.

  1.二次函数

  如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.

  几种特殊的二次函数:y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h)2(a≠0).

  2.二次函数的图象

  二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.由y=ax2(a≠0)的图象,通过平移可得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.

  3.二次函数的性质

  二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上,有如下性质:

  (1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是,对称轴是直线,顶点必在对称轴上;

  (2)若a>0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大;当x=,y有最小值;若a<0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x<,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小;当x=时,y有最大值;

  (3)抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c);

  (4)在二次函数y=ax2+bx+c中,令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况:

  <0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点;当=b2-4ac>0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是和,这两点的距离为;当当4.抛物线的平移

  抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.

初中数学函数知识点总结4

  三角和的公式

  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

  cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

  tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  倍角公式

  tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)

  Sin2A=2SinA?CosA

  Cos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A-1 =1-2sin^2 A

  三倍角公式

  sin3A = 3sinA-4(sinA)3;

  cos3A = 4(cosA)3 -3cosA

  tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a)

  三角函数特殊值

  α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

  α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3 cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2

  α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1 cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2)

  a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2

  α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2 cscα=√2

  α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3

  α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1 cotα=√2-1 secα=√(4+2√2) cscα=√(4-2√2)

  α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3 cotα=2-√3 secα=√6+√2 cscα=√6-√2

  α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1

  α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞

  α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1

  α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

  三角函数记忆顺口溜

  1三角函数记忆口诀

  “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

  以cos(π/2+α)=-sinα为例,等式左边cos(π/2+α)中n=1,所以右边符号为sinα,把α看成锐角,所以π/2<(π/2+α)<π,y=cosx在区间(π/2,π)上小于零,所以右边符号为负,所以右边为-sinα。

  2符号判断口诀

  全,S,T,C,正。这五个字口诀的`意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内只有正切是“+”,其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

  也可以这样理解:一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。

  “ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

  3三角函数顺口溜

  三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图像单位圆,周期奇偶增减现。

  同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;

  中心记上数字一,连结顶点三角形。向下三角平方和,倒数关系是对角,

  顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,

  变成锐角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,

  将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,

  余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。

  计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。

  逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。

  万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;

  一加余弦想余弦,一减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;

  三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;

  利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。

初中数学函数知识点总结5

  课题

  3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数

  教学目标

  1、掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式

  教学重点

  掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

  教学难点

  掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

  教学方法

  讲练结合法

  教学过程

  (I)知识要点(见下表:)

  第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx(k0)0x反比例函数一次函数ykxb(k0)0x二次函数yax2bxc(a0)y0xy0xky(k0)xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点(0,0)及(1,k)的.直线双曲线,x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点(0,b)的直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时,y,4aR值域R4acb2a0时,y,4aba0时,在-,上为增2a函数,在,-单调性k0时,在,0,k0时为增函数0,上为减函数k0时,为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时,在,0,k0时,为减函数0,上为增函数ba0时,在-,上为减2a函数,在,-b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x-ymin最值无无无b时,2a24acb4ab时,2a24acb4aa0且x-ymax

  第三章第30页b24acb2注:二次函数yaxbxca(x(a0))a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x,顶点(,)

  2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m,0),(n,0)(II)例题讲解

  例1、求满足下列条件的二次函数的解析式:(1)抛物线过点A(1,1),B(2,2),C(4,2)(2)抛物线的顶点为P(1,5)且过点Q(3,3)

  (3)抛物线对称轴是x2,它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点(1,7)。2,

  解:(1)设yax2bxc(a0),将A、B、C三点坐标分别代入,可得方程组为

  abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2(2)设二次函数为ya(x1)25,将Q点坐标代入,即a(31)253,得

  a2,故y2(x1)252x24x3

  (3)∵抛物线对称轴为x2;

  ∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称;∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为:ya(x2代入方程可得a1

  ∴所求二次函数为yx24x2,

  2,0)、B(222,0)

  2)(x22)a(x2)22a,将(1,7)

  5),例2:二次函数的图像过点(0,8),(1,(4,0)

  (1)求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间(2)当x取何值时,①y≥0,②y(2)由y0可得x22x80,解得x4或x2由y0可得x22x80,解得2x4

  例3:求函数f(x)x2x1,x[1,1]的最值及相应的x值

  113x1(x)2,知函数的图像开口向上,对称轴为x

  224111]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[1,]上是减函数,在[,22131]时,函数取得最小值,且ymin∴当x[1,24131又∵11

初中数学函数知识点总结6

  k0时,y随x的增大而减小,直线一定过二、四象限(3)若直线l1:yk1xb1l2:yk2xb2

  当k1k2时,l1//l2;当b1b2b时,l1与l2交于(0,b)点。

  (4)当b>0时直线与y轴交于原点上方;当b学大教育

  (1)是中心对称图形,对中称心是原点(2)对称性:是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形,对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小(3)

  k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大(4)过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

  P(1)应用在u3.应用(2)应用在(3)其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数

  1.定义:应注意的问题

  (1)在表达式y=ax2+bx+c中(a、b、c为常数且a≠0)(2)二次项指数一定为22.图象:抛物线

  3.图象的性质:分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0,0)最大(小)值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0,0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x-(h,0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0,则x=0时,若a>0,则x>0时,y②若a0,则x=0时,①若a>0,则x>0时,y②若a0,则x=h时,①若a>0,则x>h时,y②若a学大教育

  表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大(小)值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时,①若a>0,则x>b2a(4)y=a(x-(h,k)①若a>0,则x=h时,①若a>0,则x>h时,y②若a0,则x=4acb24ay最小=4acb24ab时,y随x的增大而增大时,②若a2a2a时,y随x的增大而减小b②若a学大教育

  一次函数图象和性质

  【知识梳理】

  1.正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0),一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过(3.一次函数ykxb的图象与性质

  图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的`增大y随x的增大性质而而而而

  【思想方法】数形结合

  k、b的符号k>0,b>0k>0,b<0k<0,b>0k<0,b<0b,0)和(0,b)两点的一条直线.k反比例函数图象和性质

  【知识梳理】

  1.反比例函数:一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.2.反比例函数的图象和性质

  k的符号k>0yoxk<0yox

  图像的大致位置经过象限性质

  第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3.k的几何含义:反比例函数y=的几何意义,即过双曲线y=

  k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4

  x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB

  函数学习方法学大教育

  的面积为.

  【思想方法】数形结合

  二次函数图象和性质

  【知识梳理】

  1.二次函数ya(xh)2k的图像和性质

  图象开口对称轴顶点坐标最值增减性

  在对称轴左侧在对称轴右侧当x=时,y有最值y随x的增大而y随x的增大而a>0yOa<0x当x=时,y有最值y随x的增大而y随x的增大而锐角三角函数

  【思想方法】

  1.常用解题方法设k法2.常用基本图形双直角

  【例题精讲】例题1.在△ABC中,∠C=90°.(1)若cosA=

  14,则tanB=______;(2)若cosA=,则tanB=______.255

  函数学习方法学大教育

  例题2.(1)已知:cosα=

  23,则锐角α的取值范围是()A.0°

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