高中数学平面向量的公式的知识点总结

时间：2022-02-26 20:20:29 高中数学我要投稿

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高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

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高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

　　★定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　★三点共线定理

　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

　　★三角形重心判断式

　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

　　[编辑本段]向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　a//b的重要条件是xy'-x'y=0。

　　★零向量0平行于任何向量。

　　[编辑本段]向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是a?b=0。

　　a⊥b的充要条件是'+yy'=0。

　　★零向量0垂直于任何向量.

　　设a=（x，y），b=(x'，y')。

　　★向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　★向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

　　AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

　　a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').

　　★数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

　　当λ＞0时，λa与a同方向；

　　当λ＜0时，λa与a反方向；

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　★数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　★向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

　　向量的数量积的运算律

　　ab=ba（交换律）；

　　(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)；

　　（a+b)c=ac+bc（分配律）；

　　★向量的数量积的性质

　　a?a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉ab=0。

　　|ab|≤|a||b|。

　　★向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac (a≠0)，推不出b=c。

　　3、|ab|≠|a||b|

　　4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

　　4、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　★向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　★向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c.

　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　　★向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

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