高中数学知识点
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高中数学知识点
一、排列
1、定义
（1）从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
（2）从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为 Amn.
2 排列数的公式与性质
（1）排列数的公式： Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
特例：当m=n时， Amn=n！=n（n-1）（n-2）…321
规定：0！=1
二、组合
1、定义
（1）从n个不同元素中取出 m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
（2）从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cmn表示。
2、比较与鉴别
由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
函数点总结
（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：
①若两个变量，间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。
②当=0时，称是的正比例函数。
（3）高中函数的一次函数的图象及性：
质①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0，0时，则经1、3、4象限；当0，0时，则经1、2、3象限。④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。
（4）高中函数的二次函数：
①一般式：()，对称轴是顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
（5）高中函数的二次函数的性质①
函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值9 高中函数的图形的对称
（1）轴对称图形：
①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：
①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。
②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
圆的知识点
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有：
（2）过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立。
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程。
（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
函数知识点
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；
2、偶次方根的被开方数大于等于零；
3、对数的真数大于零；
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
5、三角函数正切函数y=tan_中_≠kπ+π/2；
6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；
2、换元法；
3、待定系数法；
4、函数方程法；
5、参数法；
6、配方法
三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；
2、配方法；
3、判别式法；
4、几何法；
5、不等式法；
6、单调性法；
7、直接法
四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；
2、换元法；
3、不等式法；
4、几何法；
5、单调性法
高中数学三角函数和平面向量知识点
一、定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(_1，y1)，P2(_2，y2)，P(_，y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；(定比分点向量公式)
_=(_1+λ_2)/(1+λ)，
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。
二、三点共线定理
若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。
三、三角形重心判断式
在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。
四、向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是_y—_y=0。
零向量0平行于任何向量。
五、向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是ab=0。
a⊥b的充要条件是__+yy=0。
零向量0垂直于任何向量。
设a=(_，y)，b=(_，y)。
六、向量的运算
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(_+_，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0
AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”
a=(_，y) b=(_，y)则a—b=(_—_，y—y)。
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向；
当λ<0时，λa与a反方向；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
5、数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa。
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb。
数乘向量的消去律：
①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
6、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+—∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：ab=__+yy。
7、向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律)；
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)；
(a+b)c=ac+bc(分配律)；
向量的数量积的性质
aa=|a|的平方。
a⊥b〈=〉ab=0。
|ab|≤|a||b|。
8、向量的数量积与实数运算的主要不同点
8.1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。
8.2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac(a≠0)，推不出b=c。
8.3|ab|≠|a||b|
8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。
七、向量的向量积
1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
2、向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
3、向量的向量积运算律
a×b=—b×a；
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)；
(a+b)×c=a×c+b×c。
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
4、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
高考数学导数知识点
（一）导数第一定义
设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x0 + △x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y = f（x0 + △x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f（x0），即导数第一定义
（二）导数第二定义
设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x（x — x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f（x0），即导数第二定义
（三）导函数与导数
如果函数y = f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。这时函数y = f（x）对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f（x）的导函数，记作y，f（x），dy/dx，df（x）/dx。导函数简称导数。
（四）单调性及其应用
1、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
（1）求f￠（x）
（2）确定f￠（x）在（a，b）内符号（3）若f￠（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f￠（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数
2、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
（1）求f￠（x）
（2）f￠（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f￠（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
幂函数的性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=—k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（—∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0x="">0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。
解题方法：换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
函数知识点
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数。
反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)
函数的值域与最值
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：
（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。
（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。
（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。
（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。
（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。
（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。
（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。
如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。
3、函数的最值在实际问题中的
应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。
空间几何体表面积体积公式：
1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
2、圆锥体：表面积：πR2+πR[（h2+R2）的]体积：πR2h/3（r为圆锥体低圆半径，h为其高，
3、a—边长，S=6a2，V=a3
4、长方体a—长，b—宽，c—高S=2（ab+ac+bc）V=abc
5、棱柱S—h—高V=Sh
6、棱锥S—h—高V=Sh/3
7、S1和S2—上、下h—高V=h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3
8、S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中h—高，V=h（S1+S2+4S0）/6
9、圆柱r—底半径，h—高，C—底面周长S底—底面积，S侧—，S表—表面积C=2πrS底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h
10、空心圆柱R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh（R^2—r^2）
11、r—底半径h—高V=πr^2h/3
12、r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh（R2+Rr+r2）/313、球r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh（3a2+h2）/6=πh2（3r—h）/3
15、球台r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3（r12+r22）+h2]/6
16、圆环体R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4
17、桶状体D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高V=πh（2D2+d2）/12，（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）V=πh（2D2+Dd+3d2/4）/15（母线是抛物线形）
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形
②侧面是梯形
③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：
①底面是全等的圆；
②母线与轴平行；
③轴与底面圆的半径垂直；
④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
几何特征：
①底面是一个圆；
②母线交于圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；
②侧面母线交于原圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：
①球的截面是圆；
②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影)；侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
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